# P171: 寻找数字平方和为平方数的数
对于正整数 n, 记 f(n) 为 n(十进制表示下)的各位数的平方和, 例如
f(3) = 3^2 = 9, f(25) = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29, f(442) = 4^2 + 4^2 + 2^2 = 16 + 16 + 4 = 36
找出所有满足 0 < n < 10^20, 且各位数字平方和为平方数的数 n, 求出它们的和的最后九位数字.
# P172: 关于有少量重复数字的数的研究
有多少个18位数n（不考虑前导零）满足在n中没有一个数字出现超过三次？
# 173 使用最多一百万块地砖能拼出多少种不同的“空心”方形基板？
我们定义一个方形基板为一个拥有方形外框，中间有一个方形的“洞”且在水平和竖直方向上均对称的图形。例如，使用恰好32块方形地砖，我们可以拼成两种不同的方形基板：
使用最多一百块地砖，我们能够拼出41种不同的方形基板。
使用最多一百万块地砖，能够拼出多少种不同的方形基板？
# 174 能组成一种、两种、三种……不同方形基板的地砖数计数
我们定义一个方形基板为一个拥有方形外框，中间有一个方形的“洞”且在水平和竖直方向上均对称的图形。
用八块地砖我们只能拼出一种方形基板：一个3x3的方格，正中间有一个1x1的洞。然而，用32块地砖，我们能够拼出两种不同的方形基板。
如果用t代表使用的地砖数，我们称t = 8是L(1)型的，而t = 32是L(2)型的。
记N(n)为满足t ⩽ 1000000且为L(n)型的t的个数；例如，N(15) = 832。
对于1 ⩽ n ⩽ 10，求∑ N(n)。
# P175: 与幂和表示有关的分数
记f(0)=1，f(n)为将n写成2的幂次的和且任意幂次出现不超过两次的方式数。
例如，f(10)=5，因为10恰好有5种不同的表示方式： 10=8+2=8+1+1=4+4+2=4+2+2+1+1=4+4+1+1
对于任意分数p/q（其中整数p>0，整数q>0），我们都能找到至少一个整数n，使得f(n)/f(n−1)=p/q。
例如，使得f(n)/f(n−1)=13/17的最小的n是241。
241的二进制表示为11110001。
从左往右读这个二进制串我们得到4个1，3个0，再1个1。因此，我们称数字串4,3,1是241的简式二进制表示。
找出满足下式的最小的n的简式二进制表示： f(n)/f(n−1)=123456789/987654321.
你的答案应当用半角逗号“,”隔开各个整数，且没有任何空格。
# 176 拥有等长直角边的直角三角形**
如下四个直角三角形，三边长分别为(9,12,15)，(12,16,20)，(5,12,13)和(12,35,37)，均有一条直角边长为12。可以证明不存在其它整数边长直角三角形拥有一条长为12的直角边。
找出使得恰好有47547个不同的整数边长直角三角形拥有该长度直角边的最小整数。
# 177 整数角度四边形
ABCD是一个凸四边形，对角线为AC和BD。在四边形的每个顶点，对角线和相邻的两条边各构成一个角，总共构成八个这样的角。
例如，在顶点A的两个角分别为角CAD和角CAB。
当一个四边形的所有八个角均为整数角度时，我们称其为“整数角度四边形”。一个整数角度四边形的例子是正方形，它的八个角都是45°。另一个例子是DAC = 20°, BAC = 60°, ABD = 50°, CBD = 30°, BCA = 40°, DCA = 30°, CDB = 80°, ADB = 50°。
不考虑相似，整数角度四边形的总数是多少？
注意：在你的计算中，你可以假定一个角的的角度为整数，如果它与一个整数值的误差在10-9以内。
# 178 台阶数
考虑整数45656。 可以看出45656的每一对相邻数字之间都差1。 这种任意一对相邻数字之间都差1的数称为台阶数。 一个全数字数包含有0到9这10个数字至少各一次。
在小于1040的数中，有多少个全数字台阶数？
# 179 连续拥有同样数目正约数的数
求满足1 < n < 107且n和n + 1拥有同样数目正约数的整数n的数目。例如，14有4个正约数1, 2, 7, 14，而15也有4个正约数1, 3, 5, 15。
# 180 有三个自变量的函数的有理零点
对于任意整数n，考虑这三个函数
f1,n(x,y,z) = xn+1 + yn+1 − zn+1 f2,n(x,y,z) = (xy + yz + zx)(xn-1 + yn-1 − zn-1) f3,n(x,y,z) = xyz(xn-2 + yn-2 − zn-2)
以及它们的组合
fn(x,y,z) = f1,n(x,y,z) + f2,n(x,y,z) − f3,n(x,y,z)
我们称(x,y,z)为k阶黄金三元组，如果x，y和z都是形如a / b的有理数，其中 0 < a < b ⩽ k，且（至少）存在一个整数n使得 fn(x,y,z) = 0。
令s(x,y,z) = x + y + z。 对于所有不同的35阶黄金三元组(x,y,z)，s(x,y,z)的和记为t = u / v。 所有的s(x,y,z)以及t都是最简分数。
求u + v。